線形代数2・第13 回(2020 年12 月22 日) 授業用アブストラクト e1 = f2ng1 n=1, e2 = f3ng1n=1, e3 = f5ng1n=1 によって張られるSeq(R) の部分空間V を考え る。\e1, e2, e3" は一次独立なので、これらはV の基底である。 今、: V ! 18 0 obj /Filter /FlateDecode x�]�1��0�������.wB� ��!���D��M��%Qa`����������}�:K�=%�����������6���d"T��ǜh�x���9��_����G�y���~O��_b��D�Рm�hȅ�&��DP���mS���/8���$�G�n��phA��� �zO垉�V�2ȫ�]D��:m5U. 行列式の定義; 行列式の計算例; 行列式の基本的な性質と公式; 余因子展開; 余因子行列; 行列式=0 ⇔ 列が線形独立; 逆行列. x���P(�� �� 線形代数は専門的な研究でなくても必要になることが多い数学です。しかし、線形代数の参考書は非常に種類が多く、自分に合ったものを選ぶのは大変でしょう。線形代数の参考書のおすすめランキングや選び方についてまとめました。目的やレベルにあった参考書を選びましょう。 線形代数 6.3.01 基底に関する座標 K. Yoshitomi 大阪府立大学 2017 この動画は培風館「理工系新課程線形代数基礎から応用まで」[改訂版] に準拠しています. /Subtype /Form /FormType 1 >> 線形代数 行列の基礎. 16 0 obj /Resources 14 0 R 「線形代数を簡単に理解できるようになりたい…」。そう思ったことはないでしょうか。当ページはまさにそのような人のためのものです。ここでは線形代数の基礎のすべてを、誰でもすぐに、そして直感的に理解できるように、文章だけでなく、以下のような幾何学きかがく的なアニメーションを豊富に使って解説しています。ぜひご覧になってみてください（音は出ませんので安心してご覧ください）。, いかがでしょうか。これから線形代数の基礎概念のすべてを、このようなアニメーションとともに解説していきます。, 線形代数の参考書の多くは、難しい数式がたくさん出てきて、見るだけで挫折してしまいそうになります。しかし線形代数は本来とてもシンプルです。だからこそ、これだけ多くの分野で活用されています。そして、このシンプルな線形代数の概念の数々は、アニメーションで視覚的に確認することで、驚くほどすんなりと理解することができます。, 実際のところ、線形代数を活用できるようになるためには、計算方法よりもむしろ幾何学的な理解の方がはるかに重要です。そもそも今の時代、計算はコンピューターがあっという間にでやってくれるからです。, そこで、当ページでは線形代数の重要な基礎概念の一つひとつを、幾何学のアニメーションを使って（もちろん文章も使って）丁寧に解説していきます。数式や計算も出てきますが、必要十分かつ最低限に留めているので、挫折することはないと思います。そして、最後にはPythonで線形代数の基本的な演算を行う方法についても解説します。, すべて読み終わるころには、例えば機械学習やディープラーニングなどでよく出てくる「線形◯◯」や「◯◯処理」、「◯◯変換」などを理解するための土台が形成されていることでしょう。またコンピューター・グラフィックスなどの一部の分野では、そのまますぐに活用することもできます。, 当ページを線形代数の理解を深めるための入り口としてお使い頂けたら、とても嬉しく思います。, ざっくりと言うと線形代数とは、現実世界のさまざまな現象をベクトル空間へと抽象化し、その抽象空間の中でさまざまな解析や分析を行うというものです。面白いことに、そこでの発見が、多くの場合、現実世界で役に立つのです。そのため線形代数はベクトルに始まりベクトルに終わると言っても過言ではありません。, そこで、まずはベクトルの基礎をしっかりと抑えていきましょう。以下のアニメーションは、この１章で学ぶことになる概念をダイジェストで示しているものです。何を学ぶのかが具体的にイメージできるので、ぜひご覧ください。, 先ほどもお伝えした通り、ベクトルは以降の概念を理解する上での土台となりますので、一つずつじっくりと学んでいきましょう。, それぞれの内容は、以下で示している８つのページに分けて解説しています。画像の下の青字のリンクをクリックすると解説ページへアクセスすることができます。ぜひ順番にご確認ください。, 義務教育では、ベクトルは長さと向きをもつ矢印と教わります。しかしベクトルは本当は、もっともっと便利な概念です。線形代数においてベクトルとは何なのか。ぜひご確認ください。, 線形代数では、ベクトルは座標系に存在するものであり、そのお尻は常に原点に接しているものと考えます。それでは座標系とは何で、どういう意味があるのでしょうか。ぜひご確認ください。, ベクトルの和は、ベクトルの掛け算と並んで、線形代数の核となる重要な概念の一つです。それではベクトルの和とは一体なんなのでしょうか。これを幾何学的にばっちり理解しましょう。, ベクトルの掛け算は、ベクトルの和と並んで、線形代数の核となる重要な概念の一つです。それではベクトルの掛け算とは一体なんなのでしょうか。これを幾何学的にばっちり理解しましょう。, ベクトルの和とベクトルの掛け算は、まさにこのベクトルの分解を行うための道具です。そして、ベクトルの分解は後の線形結合や線形変換を理解するための重要な概念です。ぜひご確認ください。, 基底ベクトルは、線形結合・線形変換・逆行列・固有値・固有ベクトルなどのさまざまな重要概念を理解するためのカギとなります。それでは基底ベクトルとは何なのでしょうか。ぜひご確認ください。, 線形結合は、ベクトルのハイライトとなる概念です。ここで、ある基底ベクトルの組み合わせで描くことができる空間（スパン）という概念も解説します。ぜひご確認ください。, ほとんどの場合は、任意の基底ベクトルの組み合わせで、空間上のあらゆるベクトルを描くことができます。ただし、時にはそうでないこともあります。その判定のために重要なのが、ベクトルの独立性です。ぜひご確認ください。, 続いて、行列について学びましょう。ここでは線形代数で最も面白いテーマの一つである「線形変換」も出てきます。, 行列の計算は義務教育でも学んできましたが、それにどのような意味があるのかはよくわからなかったと思います。しかし、線形代数を学ぶと行列の計算が何なのかがとてもよくわかるようになります。それがわかれば、面倒だった計算も面白く感じてくるようになります。, さて、この２章で学ぶことになる主な概念を以下のアニメーションで示していますので、まずはご確認ください。, このように行列を使うことで、ベクトル空間がさまざまな変化をするようになります。これらについて、しっかりと理解するのがこの章の目的です。, それでは以下の７つのページを順番にご確認ください。画像の下の青字のリンクをクリックすると解説ページへアクセスすることができます。, 行列について覚えていない方も多いと思います。そこでまずは行列の基本概念である行・列・サイズ・次元などを解説します。そして、行列とは一体何なのかということを誰でもわかるように解説しています。, 線形代数では、ベクトルと行列の積は、ある入力値（原因）を出力値（結果）に変換するという意味があります。これを知ると、行列についての理解も大きく進みます。ぜひご覧ください。, 線形変換は線形代数のもっとも面白い概念の一つです。ここから線形代数がどんどん楽しくなっていくことでしょう。線形変換とはなんなのか、アニメーションで幾何学的に解説しています。, 行列と行列の積は、幾何学的には空間を続けて線形変換すること（ある処理を行った後に別の処理を行うこと）を意味します。このことから、これは写像の合成とも言われます。これもアニメーションで幾何学的に確認すると、すぐに理解できます。, ここでは行列の計算について、線形代数において重要なものを改めて解説しています。また、ここまでは正方行列のみを扱ってきましたが、ここで非正方行列の積についても触れます。これらは幾何学的に見るととても面白いです。, ここでは後の逆行列の準備として、行列を使った連立方程式の解き方を解説しています。具体的には、線形代数の教科書でよく目にする掃き出し法（ガウスの消去法）というものです。これは以後使うものなので、ぜひご確認ください。, ここでは掃き出し法で行う３つの基本操作である行列の基本変形について詳しく解説しています。ご覧頂くと、「行列の操作にはこうした幾何学的な意味があるのか」ということを発見できます。ぜひご覧ください。, 行列式は、行列による線形変換によって空間がどのように変化するのかを示す値です。具体的には、以下のアニメーションで示しているように空間の面積や体積の拡張倍率を示します。, この行列式は、すでに解説したベクトルの一次独立（線形独立）や、後で解説する逆行列・ベクトルの内積外積などとも関係する重要な概念です。３章では、以下の３つのページで、この行列式について学びましょう。, ただし、余因子展開と行列式の計算まとめについては、当ページの第一目標である「線形代数の概念を幾何学的に理解する」という観点から見て、必須ではありません。余因子展開は、サイズの大きな行列式を手計算したり、いくつかの線形代数の公式を導き出す時に使うものであり、幾何学というよりは純粋な数学に近いからです。そのため、もし難しいと感じるようなら飛ばしてしまってください。, ここでは行列式とは何かということを、誰でもわかるようにアニメーションで幾何学的に解説しています。そして、押さえておきたい行列式の性質も解説しています。ぜひご確認ください。, 余因子展開（別名「ラプラス展開」は、大きな行列式を、より次元が小さな行列式の和で表すというテクニックです。これを知っておくと、大きなサイズの行列式の計算が楽になります。また様々な公式も、この余因子展開で導き出されています。, ここでは行列式の計算方法を改めて解説しています。余因子展開を学んでいれば、４次元以上の行列式も手計算できるようになりますが、それについても解説しています。ぜひご確認ください。, 逆行列とは、ある行列で線形変換した空間を、元の空間に戻す行列のことです。まずは以下のアニメーションを見て、幾何学的なイメージを掴みましょう。, この逆行列は線形代数において非常に重要な役割を担っています。たとえば行列とベクトルの掛け算は入力値（原因）から出力値（結果）を導き出すものですが、逆行列を使うと、反対に出力値（結果）から入力値（原因）を導き出すということが可能になります。, またさまざまな分野で便利なツールとして使われている固有値・固有ベクトルを導き出す際にも欠かせません。, ここでは逆行列とは一体何かということを誰でも直感的にわかるように、アニメーションで幾何学的に解説しています。また、逆行列の重要な性質も解説していますので、ぜひ抑えておきましょう。, ここでは逆行列の求め方について、掃き出しほうによるものと公式によるものを改めて解説しています。必須ではありませんが、計算にも習熟したい場合はぜひご確認ください。, 逆行列を持つ行列のことを「正則行列」と言い、逆行列を持たない行列のことを「非正則行列」と言います。このページでは、この正則行列について改めて詳しく解説しています。, 行列には階数（ランク）という概念があります。これは、非正則行列をさらに詳しく理解するために重要な概念であり、これを知ることで次元数を変えるような線形変換について、より深く理解できるようになります。, ここでは改めて逆行列の公式の導き方を詳しく解説しています。上で解説した余因子行列も再度出てきます。必須ではありませんが、数学的な興味がある方はぜひご覧ください。, 通常の線形代数の教科書では、ベクトルの内積と外積はもっと早い段階で出てくるのが普通です。しかし実はこれらの概念は、ここまで学んできた線形代数の知識を踏まえた上で眺めた方が、より深く理解することができます。, そのようなわけで、ベクトルの内積と外積についてここで解説します。これらは以下のアニメーションで示している通り、幾何学的には１次元への射影であり、２つのベクトルに対して垂直に伸びる新しいベクトルのことです。, これらの概念は特に物理学で非常に重宝されているのですが、それだけでなく線形代数における、これまでの内容の理解を深めるためにも非常に役に立ちます。以下の二つのページでじっくりと解説していますので、ぜひご確認ください。, ここではベクトルの内積の幾何学的な意味や、その計算方法、重要な性質を、豊富なアニメーションを使って解説しています。, ここではベクトルの外積の幾何学的な意味や、その計算方法、重要な性質を、豊富なアニメーションを使って解説しています。, 固有値と固有ベクトルは、さまざまな学問分野で計算や処理のツールとして使われている重要な概念です。これは以下のアニメーションで示しているように、線形変換をしても部分空間から外れないベクトルのことであり、固有値はその際の倍率です。, これらは、ほんの一例ですが、Google 創業時の論文にも、Webページを評価するページランクの計算に出てきます。そのような創造的な利用方法の発想を目指すのは現実的ではありませんが、線形代数を使いこなせるようになることのメリットが感じられます。, さて、固有値と固有ベクトルについては、以下の３つのページをご覧ください。なおジョルダン標準形は必須ではありませんので、難しそうなら飛ばして頂いて構いません。, まず固有値と固有ベクトルの幾何学的な意味と、それらの求め方について解説しています。, 対角行列を使うと、べき乗の計算がはるかに簡単になります。ここでは対角化行列とは何か、そして行列を対角化する方法を詳しく解説します。, 対角化できない行列でもジョルダン標準形という形に変換することは可能です。これによって、対角行列と同じようにべき乗の計算を楽にすることができます。必須ではありませんが、興味があればご確認ください。, それでは最後に、ここまでで学んだ線形代数の基礎概念の演算をPythonで行う方法について触れておきます。Pythonでは、科学技術計算やデータエンジニアリングにおいてはNumPyというライブラリを使うのが一般的です。NumPyは高速に動作するため、大規模な計算に適しているからです。, ぜひ以下の８つのページをご覧ください。これらのページでPythonで線形代数を行うための基礎力を身につけることができます。, 最後までご覧いただきありがとうございます。以上が線形代数の土台であり基本です。以降は、これらの知識を元にして、それぞれの専門分野の学習へと役立てて頂ければ嬉しく思います。, という場合は、ぜひコメント欄や問い合わせフォームなどからお伝え頂ければ助かります。, なおアニメーションはpythonのmanimceライブラリで作成しています。もともと作成されたのは3b1bのGrant Sandersonさんです。彼と、manimceライブラリの開発に携わっておられるエンジニア達に感謝します。, 次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。, このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください。. 行列が等しいこと; 行基本変形; 行列の簡約化; 行列式と余因子. なぜ線形代数を学ぶ必要があるの？ 大学一年生の私は線形代数を学ぶ必要性が分かっていませんでした・・・。 どう役に立つのかは分からないけど、「単位を落とす訳にはいかないから」ほぼ公式を丸暗記で勉強していました。 文献 [a] 有馬哲著: 線型代数入門, 1974, 東京図書 [m1] 三宅敏恒著: 入門線形代数, 1991, 培風館 [m2] 三宅敏恒著: 線形代数学— 初歩からジョルダン標準形へ—, 2008, 培風館 [s] 佐武一郎著: 線型代数学(数学選書1), 1974, 裳華房 [s2] 齋藤正彦著: 線型代数入門(基礎数学1), 1966, 東京大学出版会 を 座標変換の行列 (または，基底変換の行列) といいます。 [5] 特に，ベクトル空間の基底が正規直交系である場合は，p は直交行列 となります。 詳しくは 固有値論入門： 第6章 「ユニタリ行列」 を参照し … 17 0 obj 線型代数において、回転行列（かいてんぎょうれつ、英: rotation matrix ）とは、ユークリッド空間内における原点中心の回転変換の表現行列のことである。. 線形代数では、ベクトルは「座標系」に存在するものとして扱います。それでは座標系とは何でしょうか？ 座標系とは、たとえば二次元空間の場合は、水平軸(\(x\)軸)と垂直軸(\(y\)軸)の二つの成分が存在する平面空間のことです。 /Length 205 endstream 2x 2+4xy y = 1: (解答) Step 1. /Length 204 endobj stream x�]�1o!����!�R)��U��F�V�J���r��!����2`ϟ�l�6�2�Y�)�vBK\��4��.ؼ�Z��IP�K�y`�5ԥ�K�;v����%�$�����/?�ҍf�}G��0���U�}K�wM:l���%Kbx"��O���Iۈ�N�G_���*\y���Hq֦m�����XH��R��/Ri� 線形代数や微分幾何など様々な分野に登場する二次形式についての知識を整理しました。 行列の基本変形とrank，行列式の求め方 レベル: 大学数学 stream endstream 行列の定義 行ベクトル，列ベクトル，係数行列，列ベクトルを用いた行列の表し方 行列の和; 行列のス … >> 行列. 線形代数の基礎入門 2018.8.12 シュミットの正規直交化についてわかりやすく解説してみる 線形代数の基礎入門 2018.8.18 理系大学生必見！5分でわかる線形代数の重要部分の総まとめ！ 線形代数の基礎入門 2018.7.28 ベクトルの基礎を行列と絡めて理解しよう！ (行列表示) 行列とベクトルを用いると, 上記の方程式は [x y] [2 2 2 1][x y] = 1 (1) と書ける([x y] は行ベクトル). 今回は線形変換の中で、回転行列を使って行う回転変換、原点を通る直線と対称移動させる変換の表現行列の作り方、および実際に座標を回転変換、対称変換させるたときの座標の求め方についてまとめています。 線形代数では、ベクトルは座標系に存在するものであり、そのお尻は常に原点に接しているものと考えます。 それでは座標系とは何で、どういう意味があるのでしょうか。 /Matrix [1 0 0 1 0 0] R3 を\e1, e2, e3" から定まる座標系とすると、 の下でfang1 n=1, fbng 1 n=1, fcng 1 n=1 はそれぞれ 二次元や三次元では、幾何学、物理学、コンピュータグラフィックスの分野での計算に非常によく使われている。 >> 「線形代数基礎」とした．授業中に「線型」と書いても気にしないで欲しい．(2) は(1) のダイジェスト版 でありながら，証明がきちんとしていて，なおかつ読みやすい言葉で書かれていると思う．このテキ … %PDF-1.5 /Type /XObject 今回は線形代数の教科書で扱われているのに編入の参考書ではほとんど扱われていない*1「基底の変換行列」の話をします。 電通大ではこの知識が前提とした線形変換の表現行列の問題が過去に出ているので、その話をするための前提知識だと思って聞いて下さい。 ¾線形関係→y=ax →直線 zyもxも1次式で登場する（1次の形）＝線形 zただし、1次元の話世の中は3次元[4次元] ¾2次元、3次元、4次元、…はどうやって直線を表 すの？ ¾ベクトルや行列の概念 y Ax r r = << N��䐡�� �:`ϟ�l��}w��Y��)a��氈%�h��'��i}�h'�2�?�DS�C��P�,�I����ԏ8�#6W�{��%�;M� ���\�h��L��mM�6Uڭ���9Kbx$�i����M[������3�� 線形代数 . 線形代数II: 二次曲線 1 二次曲線の標準形(一次の項がない場合) 例1. endobj << Step 2. /Length 15 次の二次曲線の標準形を求め, 曲線の概形を図示せよ. stream 1 第1章 基礎事項 1.1 微分積分 偏微分 変数x, y, z の関数f = f(x,y,z)について ∂f ∂x) yz = lim ∆x→0 f(x+∆x,y,z)−f(x,y,z) ∆x (1.1) をf のxによる1階の偏微分という. 少し前(2019年4月頃)に、「AI人材」という言葉がニュースを賑わせていました。「現在流行っているディープラーニングその他を使いこなせる人材」くらいの意味だと思いますが、こういうバズワードの例の漏れず、人によって意味が異なるようです。併せて「AI人材のために線形代数の教育をどうするか」ということも話題になっています。 線形代数という学問は、本来は極めて広く、かつ強力な分野ですが、とりあえずは「行 … 座標系とは. /Length 205 向きを持たない量であるスカラー(scalar)と区別するために，長さと向きを持つ量であるベクトル(vector)は，ボールド体でなどと表記される． ベクトルの始点(initial point)から終点(terminal point)までの線分の長さは，ベクトルの長さ(length)，大きさ(magnitude)，または絶対値(absolute value)とい … ここで, 左辺の()につけた添え字yz は偏微分を行うさいにy, z を一定とみなすことを意味する. endobj 13 0 obj /Filter /FlateDecode 実際に行列Aの表す一次変換によって、xy座標上の点(1,2)がどの様に移動するのか見てみます。 $$行列A＝\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & << 線形代数とは何をするもの? 非線形渦粘性モデルが提案されている1–3）．その中でも特 に陽的な代数応力モデルが興味深い4–7）．それはレイノル ズ応力の非等方性を正確に扱う陰的な代数応力モデルの解 となっているからである．代数応力モデルでは弱平衡条件 endstream x�]�1�� ���{CEzK��N�2�W5W�V /Filter /FlateDecode /Filter /FlateDecode 1. 線形代数2・第15 回(2021 年1 月19 日) 授業用アブストラクト 定理15 -3 -2 V (0V g) をn 次元ベクトル空間とし、T: V ! /BBox [0 0 362.835 3.985] %���� 線形代数の課題から反れるので、この文書では扱わない。 局所座標系を表す行列TA は、(u, v, w)を縦ベクトルとする行列で与えることができる。しかし、変換させる >> y, z による偏微分についても同様に 定義する. \y���HvV������ZH�P��/Xi� stream << kit数学ナビゲーション作成したページの中で線形代数に関するページを集めています．.
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